指数関数 f(ｘ) と同じく「f(ｘ1 + ｘ2) ＝ f(ｘ1) × f(ｘ2)」の形式をもつものに，「平面上の回転」がある。
一つの平面上のベクトル全体は，実数をスカラーとして２次元線型空間をつくる。
さらにこの２次元線型空間は，スカラーを複素数に取り換えることで１次元線型空間になる。
（  複素数 ）
複素数をスカラーとするこの１次元線型空間を，Ｖとする。
V の導入で，ベクトルに対する「θラジアンの回転」と「( cosθ ＋ i sinθ) 倍」が同じことになる。
特に，「＜回転の合成＞の意味」として，つぎが成り立つ：
cos(θ + τ) ＋ i sin(θ + τ)
＝ (cosθ＋ i sinθ) × (cosτ＋ i sinτ)
そこで，関数
ｆ：ｘ├─→ cosｘ ＋ i sinｘ (ｘ∈  )
を考える。
これは，つぎを満たす：
(f(ｘ1 + ｘ2) ＝ f(ｘ1) × f(ｘ2)
備考. 複素数の「数空間」
複素数の「数空間」──ベクトルとスカラーの両方を複素数とする１次元線型空間──を，Cで表す。
（註. 「複素平面」は，「Cに随伴するアフィン空間」がこれの意味である。）
大きさが０でないｕ ∈ Ｖ を，一つ定める。
ＶとＣの間には，つぎの同型対応が立つ：
ψ：ｕ× (ｘ ＋ i ｙ)├─→ ｘ ＋ i ｙ
そしてこの同型を介して，ベクトルｖ ＝ ｕ× (ｘ ＋ i ｙ) の θラジアン回転と複素数のつぎの積が対応することになる：
(ｘ ＋ i ｙ) × ( cosθ ＋ i sinθ)
| 註： |
Ｃにおける複素数の積には，見掛けは同じだが意味の違う，つぎの２通りがある：
・ベクトルのスカラ倍 (「作用」)
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(ｘ ＋ i ｙ) × ( cosθ ＋ i sinθ) としての (ｘ ＋ i ｙ) × ( cosθ ＋ i sinθ)
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・スカラの積 (「作用の合成」)
(cosθ ＋ i sinτ) × (cosθ ＋ i sinτ)
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