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Up rotation の定義 作成: 2017-11-14
更新: 2017-11-21

    力ベクトル場 →F(→x) に対し，「各 →x における rotation」として，rot→F(→x) を定義する。

    rot→F の大意は，つぎのようになる：
      「力ベクトル場 →F(→x) の中で物単位が輪を描いて一周するときの，
      　　仕事の損得」
    そして，この大意を厳密化していって，rot→F の定義となる。

    rot→F の概念は，わかりにくい。
    わかりにくいのは，つぎの二点による：
    1. ベクトル量であること
    2. ＜単位面積ベクトル＞あたり量であること
      （一周の長さに依存するのではなく，一周で囲む面積に依存する）

    即ち，rot→F は，つぎのように定義される：
    rot→F=(∂Fy∂z−∂Fz∂y,∂Fz∂x−∂Fx∂z,∂Fx∂y−∂Fy∂x)
    そして，つぎがこれの用い方になる： ∫Srot→F⋅→ndS

    以下，この概念がつくられるロジックを見ていく。


    力ベクトル場 →F(→x) の中の微小面積 dS を考える：

    物単位が dS の縁を一周するときの仕事を，dW とする。
    そして「単位面積あたりの仕事」に dW を換算したものを，W とする。

    dS を，yz平面，zx平面，xy平面それぞれに射影する：
      dSx : yz平面への射影
      dSy : zx平面への射影
      dSz : xy平面への射影

    仕事 dWx,dWy,dWz をつぎのように定める：
      dWx : 物単位が dSx の縁を一周するときの仕事
      dWy : 物単位が dSy の縁を一周するときの仕事
      dWz : 物単位が dSz の縁を一周するときの仕事

    dWx,dWy,dWz をそれぞれ「単位面積あたりの仕事」に換算したものを，Wx,Wy,Wz とする。
    このとき，W はベクトル (Wx,Wy,Wz) の大きさと等しい。

    以下，(Wx,Wy,Wz) を求める。

    Wx の場合：
    はじめに，dSx が長方形の場合を考える：

    このとき，
      dWx=Fy(y,z)Δy　　+Fz(y+Δy,z)Δz　　−Fy(y,z+Δz)Δy　　−Fy(y,z)Δz　=(Fy(y,z)−Fy(y,z+Δz))Δy−(Fz(y,z)−Fy(y+Δy,z))Δz　≈(∂Fy∂zΔz)Δy−(∂Fz∂yΔy)Δz　=(∂Fy∂z−∂Fz∂y)ΔyΔz　=(∂Fy∂z−∂Fz∂y)dSx

    dSx の一般形に対しては，つぎの区分求積を考える：

    区分した長方形の辺長を Δy1,Δz1 とし，これの一周の仕事を dWx1 とする。
    重なる辺で仕事が相殺されるので，つぎが成り立つ：
      dWx≈∑dWx1
    さらに，
      ∑dWx1=∑(∂Fy∂z−∂Fz∂y)Δy1Δz1=(∂Fy∂z−∂Fz∂y)∑Δy1Δz1≈(∂Fy∂z−∂Fz∂y)dSx
    結局，
      dWx=(∂Fy∂z−∂Fz∂y)dSx

    dWx は面積 dSx あたりの仕事なので，
      Wx=dWxdSx=∂Fy∂z−∂Fz∂y


    Wx の計算と同様に， Wy,Wz を計算する。
    結果は，つぎのようになる：
    (Wx,Wy,Wz)=(∂Fy∂z−∂Fz∂y,∂Fz∂x−∂Fx∂z,∂Fx∂y−∂Fy∂x)
    この式の右辺を，rot→F と表す：
    rot→F=(∂Fy∂z−∂Fz∂y,∂Fz∂x−∂Fx∂z,∂Fx∂y−∂Fy∂x)
    演算子記号 ∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z) を用いれば，形式的に ∇ と →F=(Fx,Fy,Fz) の外積ということになる：
    rot→F=∇×→F