Up | 量の代数的構造 |
「重さ」と言うとき,個々の重さを指す場合と,カテゴリーとしての重さを指す場合の,二通りがある。 これを区別するために,前者を「重さ(要素)」,後者を「重さ(系)」と言い表すことにする。 また,重さ,長さ,時間等々の量の一般名称として「量」のことばを使うときは,「量(要素)・量(系)」の言い回しを用いる。 数学は,量(系) を<構造をもった集合>ととらえる。 この集合の要素が,量(要素) である。 量(系) は,つぎの意味で,数(系) を構成要素にしている:
「数」にも,自然数,分数,正負の数,複素数等々,いろいろある。 そして,たとえば「分数」と言うとき,個々の分数を指す場合と,カテゴリーとしての分数を指す場合の,二通りがある。 これを区別するために,前者を「分数(要素)」,後者を「分数(系)」と言い表すことにする。 また,自然数,分数,正負の数,複素数等々の数の一般名称として「数」のことばを使うときは,「数(要素)・数(系)」の言い回しを用いる。 以下,量(系) の代数的構造を示す。 数学は,量(系) を「構造をもった集合」ととらえる。 量(系) Q の要素2つに対しては,和が考えられている。 Qの要素q1とq2に対し,これの和をq1+q2で表すとしよう。(「+」は太字の+) Qの要素に対しては,数(系) N (例えば分数) の要素の倍作用が考えられている。 Qの要素qとNの要素nに対し,qのn倍をq×nで表すとしよう。(「×」は下付の×) Nの要素2つに対しては,和と積が考えられている。 Nの要素n1とn2に対し,これの和と積をそれぞれ n1+n2 ,n1 × n2 で表すとしよう。 数の+と×は,つぎの関係で条件付けられている (すなわち,これが+と×の定義):
そして,これらの意味をすべて込めて,この構造をつぎのように表すとしよう:
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