Up 四元数を「数」とする「量」 作成: 2007-10-22
更新: 2007-10-27

    数の意義は，「２量の比」を表現することです。
    「２量の比」の表現である数は，量の表現に使えます。
    すなわち，任意の量を，つぎの形で一意的に表せるようになります：

      「単位(と決めた量) の何倍」

    「単位(と決めた量) の何倍の形で任意の量が表現できる」は，つぎのように言い換えられます：

      「量は，数の倍作用に関して１次元」

    例えば，２次元実ベクトル空間は，複素数の倍作用に関して１次元です。


    「量は，数の倍作用に関して１次元」には，つぎの重要な含意があります：

      量は一つの形式であり，この形式は数を用いて表現される：
        数 ( N, ＋, × )　→　量 ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) )

    これは，つぎの解釈と通じています：

      「量は，数を認識形式として人が対象化するところのもの」

    　確認 : ＜長さ＞は，「この棒の長さ」のように存在します。
    棒に長さを読んで，これを一つの存在のようにしているのは，人です。
    (「数」が「量」をつくる)


    では，四元数 ( , ＋, × ) に対応する「量」──すなわち，( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) と同型な対象──は，どのようなものになるでしょう？

    つぎのように定義される ( (4, ＋), ×, (, ＋, × ) ) が，「量」(の一つ) になります：

    1. ( (4, ＋), ×, (, ＋, × ) ) は，４次元実ベクトル空間。

    2. 同型：
        ( (, ＋), ×, (, ＋, × ) )　→　 ( (4, ＋), ×, (, ＋, × ) )
          f : w + xi + tj + zk (w, x, y, z)


    四元数の ＋ に４次元実ベクトルの ＋ が確かに対応しています：：

      f((w1 ＋ x1 i ＋ y1j ＋ z1 k) ＋ (w2 ＋ x2 i ＋ y2j ＋ z2 k))
      ＝ f((w1 ＋ w2) ＋ (x1 ＋ x2) i ＋ (y1 ＋ y2) j ＋ (z1 ＋ z2) k )
      ＝ (w1 ＋ w2, 　x1 ＋ x2, 　y1 ＋ y2, 　z1 ＋ z2 )
      ＝ (w1, x1, y1, z1) ＋ (w2, x2, y2, z2)

    また，４次元実ベクトルに対する四元数の作用 × が，つぎのように定義されたことになります：

      (w, x, y, z) × (W + Xi + Yj + Zk)
      ＝ f( f−1(w, x, y, z) × (W + Xi + Yj + Zk) )
      ＝ f( (w + xi + yj + zk) × (W + Xi + Yj + Zk) )
      ＝ f( ( wWー xXー yYー zZ )
      ＋ (wX＋ xW＋ yZー zY) i
      ＋ (wYー xZ＋ yW＋ zX) j
      ＋ (wZ＋ xYー yX＋ zW) k )
      ＝ ( wWー xXー yYー zZ,
      wX＋ xW＋ yZー zY,
      wYー xZ＋ yW＋ zX,
      wZ＋ xYー yX＋ zW )