直交座標の座標ベクトル
\[
{\bf x} = \left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
\]
に対し，これの大きさ \( | {\bf x} | \) が，つぎのように定義される：
\[
|{\bf x}| = {\bf x} \cdot {\bf x} = \sum_{i=1}^n {(x^i)}^2 \\
\ \ \ \ = \sum_{i,j=1}^n {\delta}_{ij}\, {x^i}{x^j}
\]
この形式は，以下に示すように，直交座標のとり方に依らない。
そこで，「直交座標の上のテンソル」と言うことができる。
つぎを，座標の直交変換とする：
\[
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
=
A\,
\left(
\begin{array}{c}
{x^{'}}^1 \\
\vdots \\
{x^{'}}^n \\
\end{array}
\right)
\ \ \ \ \ \
A = \left(
\begin{array}{ccc}
a^1_1 & \cdots & a^1_n \\
& \cdots & \\
a^n_1 & \cdots & a^n_n \\
\end{array}
\right)
\]
\( A \) は直交行列なので，\( {}^t A = A^{-1} \)：
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
a^1_1 & \cdots & a^n_1 \\
& \cdots & \\
a^1_k & \cdots & a^n_k \\
& \cdots & \\
a^1_n & \cdots & a^n_n \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccccc}
a^1_1 & \cdots & a^1_l & \cdots & a^1_n \\
& & \cdots & &\\
a^k_1 & \cdots & a^k_l & \cdots & a^k_n \\
& & \cdots & &\\
a^n_1 & \cdots & a^n_l & \cdots & a^n_n \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \cdots & 0 \\
& \cdots & \\
0 & \cdots & 1 \\
\end{array}
\right) \\
\sum_{i=1}^n a^i_k \, a^i_l = {\delta}_{kl} \\
\]
このとき，
\[
\sum_{i,j=1}^n {\delta}_{ij}\, {x^i}{x^j} \\
= \sum_{i,j=1}^n {\delta}_{ij}\, \left( \sum_{k=1}^n a^i_k\,{x^{'}}^k \right) \, \left( \sum_{l=1}^n a^j_l\,{x^{'}}^l \right) \\
= \sum_{k,l=1}^n \left( \sum_{i,j=1}^n {\delta}_{ij}\, a^i_k a^j_l \right)\,{x^{'}}^k\,{x^{'}}^l \\
= \sum_{k,l=1}^n \left( \sum_{i=1}^n a^i_k a^i_l \right)\,{x^{'}}^k\,{x^{'}}^l \\
= \sum_{{k,l}=1}^n {\delta}_{kl} \, {x^{'}}^k \, {x^{'}}^l \\
= \sum_{{i,j}=1}^n {\delta}_{ij} \, {x^{'}}^i \, {x^{'}}^j\\
\]
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