Up 直線座標の計量テンソル 作成: 2017-12-30
更新: 2018-01-01


    つぎの形式が,直交座標の計量テンソルになった ( 「直交座標の計量テンソル」):
      \[ \sum_{i,j=1}^n {\delta}_{ij}\, {x^i}{x^j} \]
    これを,直線座標一般に対するつぎの形式に一般化してみる:
      \[ \sum_{i,j=1}^n d_{ij}\, {x^i}{x^j} \]
    この形式は,以下に示すように,直線座標の座標変換で保たれる。
    そこで,「直線座標のテンソル」と言うことができる。


      直線座標の座標変換
        \[ \left( \begin{array}{c} x^1 \\ \vdots \\ x^n \\ \end{array} \right) = A\, \left( \begin{array}{c} {x^{'}}^1 \\ \vdots \\ {x^{'}}^n \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ A = \left( \begin{array}{ccc} a^1_1 & \cdots & a^1_n \\ & \cdots & \\ a^n_1 & \cdots & a^n_n \\ \end{array} \right) \]
      に対し,
        \[ \sum_{i,j=1}^n d_{ij}\, {x^i}{x^j} \\ = \sum_{i,j=1}^n d_{ij}\, \left( \sum_{k=1}^n a^i_k\,{x^{'}}^k \right) \, \left( \sum_{l=1}^n a^j_l\,{x^{'}}^l \right) \\ = \sum_{k,l=1}^n \left( \sum_{i,j=1}^n d_{ij}\, a^i_k a^j_l \right)\,{x^{'}}^k\,{x^{'}}^l \\ = \sum_{k,l=1}^n {d^{'}}_{kl} \,{x^{'}}^k\,{x^{'}}^l \\ \ \ \ \ \ \ {d^{'}}_{kl} = \sum_{i,j=1}^n d_{kl}\, a^i_k a^j_l \]