Up サイクル──\( \mathbb{Z} \)加群 \( C_0 \) の導入 作成: 2023-10-10
更新: 2023-10-10

    一巡するチェインを，サイクルと呼ぶ。

    一巡を現す有向辺の和は，「ベクトルの和」に見立てると０になる。
    実際，これがサイクルの特徴づけになる。
        \[ \overrightarrow{ v_3 v_2 } + \overrightarrow{ v_2 v_5 } + \overrightarrow{ v_5 v_1 } + \overrightarrow{ v_1 v_3 } = \overrightarrow{ v_3 v_3 } = 0 \]

    この式に倣って，つぎの代数を導入する：
      \[ \begin{align} & ( v_2 - v_3 ) + ( v_5 - v_2 ) + ( v_1 - v_5 ) + ( v_3 - v_1 ) \\ =\ & v_2 + ( - v_3 ) + v_5 + ( - v_2 ) + v_1 + ( - v_5 ) + v_3 + ( - v_1 ) \\ =\ & 0 \end{align} \]

    ここで \( -, + \) の導入は，つぎのことをしたのである：
      「頂点で生成される \( \mathbb{Z} \) 加群を導入」

    導入した \( \mathbb{Z} \) 加群を，０次チェイン加群と呼び，\( C_0 \) と表記する。
    「０次」のことばと添え数「０」は，頂点の幾何学的次元０を指す。


    頂点 \( v_i \) に対する \( v_i, -v_i \in C_0 \) の意味を問うことは無用である。
    \( C_0 \) は，チェイン \( \sum{} \overrightarrow{ v_i v_j }\ \) がサイクルかそうでないかを，\( \sum{} ( v_j - v_i )\ \) が 0 になるかならないかでわかるようにしようとするとき，自ずとつくってしまうものである。