Up √２の 連分数表現
更新: 2014-07-22

    黄金比 (＝ (1+√5)/2) は，つぎの連分数である：

    そこで，これの延長として，「つぎの連分数はどうなるんだろうか？」となりそうである。

    結論から言うと，これは １＋√２ になる。
    以下に解説するが，√2 の連分数表現がつぎのようになる：
    そしてこれに１を足せば，先の連分数になるわけである。


    √2 の連分数表現は，ユークリッド互除法をつぎのように行うことで得られる：

    1. 正方形で，辺が対角線にいくつ入り，そしてそのときの余りは？


    2. １つ入って，余りが出る：


    3. 余りは，もとの辺にいくつ入入り，そしてそのときの余りは？


    4. 余りと同じ長さの線分が，つぎのようにとれる：


    5. つぎのようにして，２つ入って，余りが出る：


    6. この余りは，もとの余りにいくつ入り，そしてそのときの余りは？


      これは，3 と同じ形になっている。
      よって，この「ユークリッドの互除法」は永遠に続く。



    　よって，√２の連分数表現として，つぎを得る：